martes, 8 de noviembre de 2011

estrella (figura geometrica)


Estrella (figura geométrica)

Con carácter general, una estrella, como objeto matemático, no está definido de forma unívoca. Existen grafos estrellados, polígonos estrellados, estrellas o formas estrelladas... y todos ellos tienen definiciones que a veces se solapan o se refieren indistintamente a uno u otro objeto. Así, por ejemplo, se encuentran definiciones que aceptan que las dos figuras de la derecha son polígonos estrellados, mientras que otras sólo aceptan como tal a la primera.
Además de éstas figuras que, de uno u otro modo, pueden quedar bien definidas, se construyen formas estrelladas de otro tipo tomando como base polígonos estrellados o polígonos "normales" mediante la prolongación con distintos criterios de sus lados.


En la naturaleza, el arte, la técnica o la cultura, en general, las estrellas, con distinta precisión geométrica, aparecen con mucha frecuencia.

Polígono estrellado

Si a partir de un polígono regular de p lados se une un determinado vértice con otro no consecutivo de orden q ("avanzando" q vértices) y se continúa el proceso del mismo modo hasta alcanzar el vértice inicial, se obtiene un polígono regular estrellado, cuyos lados y ángulos son todos iguales. La figura que se obtiene puede representarse mediante la expresión {p/q}, siendo q el número de vértices contados a partir del primero. Por ejemplo, a partir de un pentágono regular (p = 5) puede trazarse una estrella de cinco puntas uniendo el primer vértice con el tercero (q = 2), el tercero con el quinto, el quinto con el segundo, el segundo con el cuarto y el cuarto con el primero. Se obtiene así el polígono estrellado {5/2}.
Para generar un polígono estrellado, la fracción p/q debe ser irreducible, esto es, p y q han de ser primos relativos, obteniéndose en tal caso el mismo polígono que en el caso p/p-q.4
La notación {p/q} se debe a Ludwig Schläfli.


Estrellas
Ene agrama o estrella {9/3}
Cuando la fracción p/q no es irreducible, los vértices del polígono inicial no quedan todos conectados. Pueden obtenerse entonces figuras denominadas estrellas dando una «segunda vuelta» con los mismos criterios, partiendo del primer vértice no conectado en la primera etapa. Así se obtiene finalmente una figura que también podría construirse mediante la superposición de polígonos girados. Un ejemplo típico sería el de la Estrella de David, construido a partir de un hexágono y de orden {6/2}.
Una definición más laxa admite a los polígonos estrellados y a las estrellas tal y como aquí se han definido dentro de la misma categoría.1
Polígono estrellado simple
Polígonos estrellados simples regulares
En el caso de polígonos simples, aquellos que dividen el plano en sólo dos regiones (interior y exterior), se considera estrellado todo polígono de vértices Pi, i = 1, ..., n, que tiene al menos un punto en su interior, C, tal que el segmento CPi está en el interior del polígono.
Esta definición es muy importante en Informática, por diversos motivos.
Consideramos en estos casos un polígono estrellado simple regular a todo aquel cuyos vértices están de forma alternativa sobre dos circunferencias concéntricas, de centro O, siendo los ángulos centrales (PiOPi+1, con i = 1, ..., n-1) todos iguales.

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